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Mes travaux de recherche portent sur l’étude des groupes discrets et de la géométrie des actions de groupe.
Je m’intéresse notamment à certains invariants de nature géométrique, dynamique et probabiliste, liés à ces actions. Ces invariants permettent d’obtenir une meilleure compréhension de l’action des groupes et de la géométrie des variétés sous-jacentes.

J’ai aussi eu la possibilité de travailler sur des problèmes de dynamique topologique et plus récemment sur des processus aléatoires.

Avant de détailler les résultats que j’ai obtenus jusqu’à présent et ceux auxquels j’espère aboutir prochainement, la suite de cette introduction expose quelques exemples simples visant à présenter les notions et objets qui sont au cœur de mes recherches.\\

Avant toute chose, je souhaite donner un cadre général reflétant l’approche mathématique de mes travaux. Soit $S$ une surface compacte de genre $g\geq2$ et $\gamma:= \pi_1(S)$ son groupe fondamental. Ce groupe admet des représentations fidèles, discrètes et cocompactes dans le groupe des isométries du plan hyperbolique $\mathbb{H}^2$. Se donner une telle représentation $\rho : \gamma \mapsto \mathrm{Isom}(\mathbb{H}^2)$, c’est hyperboliser $S$. Autrement dit, le quotient de $\mathbb{H}^2$ par $\rho(\gamma)$ est une surface compacte difféomorphe à $S$ qui a une structure supplémentaire : elle est munie d’une métrique riemannienne à courbure $-1$, localement isométrique à $\mathbb{H}^2$.

Remarquons que si l’on conjugue $\rho$ par un élément de $\mathrm{Isom}(\mathbb{H}^2)$, la nouvelle surface hyperbolique obtenue est isométrique à la précédente. Qui plus est, il existe une infinité de telles classes de conjugaisons de représentations ; c’est ce que l’on nomme \emph{espace de Teichmüller} de $S$, $\mathrm{Teich}(S)$.

On peut voir $\mathrm{Teich}(S)$ selon beaucoup de points de vue équivalents. Dans mes travaux les deux façons les plus commodes de le représenter est le point de vue expliqué précédemment des représentations fidèles discrètes modulo conjugaison d’une part, et celui des métriques hyperboliques (ie. localement modelées sur $\mathbb{H}^2$) sur $S$ d’autre part. Ces deux points de vue permettent de comprendre les invariants que j’étudie. Nous les regarderons ensuite dans des cadres différents en faisant agir des groupes discrets plus généraux sur des espaces aux propriétés géométriques plus riches. \\

Exposant critique et entropie.

Les premiers invariants que j’ai étudiés sont des invariants de \emph{comptage}. On regarde le cardinal d’un ensemble qui croît exponentiellement vite, et on s’intéresse à cette vitesse de croissance. Ces notions ne sont pas pertinentes dans le cas des représentations Teichmüller\footnote{Car constantes, égales à 1, sur tout l’espace de Teichmüller.}, mais nous pouvons tout de même expliciter leur définition dans ce cadre.

Soit donc une surface hyperbolique compacte $S$ ou, de façon équivalente, une représentation fidèle discrète $\rho$ du groupe fondamental $\gamma:=\pi_1(S)$ dans $\mathrm{Isom}(\mathbb{H}^2)$.
L’\emph{exposant critique} de $\gamma$ agissant sur $\mathbb{H}^2$ est la vitesse de croissance exponentielle du nombre de points dans une orbite de $\gamma$. On le définit par :
\begin{eqnarray}
\delta(\gamma) := \limsup_{R\longrightarrow \infty} \frac{1}{R} \log \mathrm{Card}\{ \gamma \in \gamma \, |\, d(\rho(\gamma) o, o) \leq R\}.
\end{eqnarray}
Ici $o$ est un point quelconque de $\mathbb{H}^2$, l’inégalité triangulaire assurant que $\delta(\gamma)$ est indépendant de ce choix.

Soit $\mathcal{C}$ l’ensemble des classes d’homotopie libre de lacets sur $S$. Pour tout $c\in \mathcal{C}$, on note $\ell_S(c)$ la longueur de (l’unique) représentant géodésique de $c$ sur $S$. L’\emph{entropie} de $S$ est la vitesse de croissance exponentielle du nombre de géodésiques fermées sur $S$. On la définit par :
\begin{eqnarray}
h(S) := \limsup_{R\longrightarrow \infty} \frac{1}{R} \log \mathrm{Card}\{ c \in \mathcal{C} \, |\, \ell_S(c) \leq R\}.
\end{eqnarray}

Dans le cas des surfaces compactes hyperboliques ces deux nombres valent $1$, mais on peut aisément étendre ces définitions à des groupes et des actions plus générales. Ces invariants ne sont alors pas toujours égaux à 1. L’exemple à avoir en tête est celui des pertubations des représentations de $ \rho_0:\gamma\longrightarrow \mathrm{Isom}(\mathbb{H}^2)\hookrightarrow \mathrm{Isom}(\mathbb{H}^3)$. Soit $\rho : \gamma \longrightarrow \mathrm{Isom}(\mathbb{H}^3)$ une petite déformation de $\rho_0$. Bowen montré que $\delta(\rho(\gamma))$ est supérieur ou égal à $1$ avec égalité si et seulement si $\rho$ est conjuguée à $\rho_0$.

Dimension de Hausdorff de l’ensemble limite

Lorsqu’un groupe $\gamma$ agit proprement discontinument sur un espace métrique, les points de ses orbites s’accumulent sur son bord, dans un ensemble $\gamma$-invariant appelé \emph{ensemble limite} de $\gamma$, noté $\Lambda_\gamma$. L’invariant associé est la dimension de Hausdorff : $\mathrm{Hdim}(\Lambda_G)$. Mentionnons dès à présent que les travaux de Patterson et Sullivan montrent que la dimension de Hausdorff de l’ensemble limite est égale à l’exposant critique dans un cadre très général. Ainsi on distingue cet invariant des précédents de par sa nature, mais il est à noter qu’ils sont égaux dans la majeure partie des cas étudiés ici.

Plusieurs choses sont à préciser dans la définition, notamment quelle notion de bord on doit considérer, mais aussi quelle métrique prendre pour définir la mesure de Hausdorff. Dans le cadre présenté précédemment des actions discrètes sur $\mathbb{H}^2$, le bord est le bord topologique de $\mathbb{H}^2$ qui s’identifie à $\mathbb{R}\cup \{+\infty\} \simeq \mathbb{S}^1$. La métrique est celle dite \emph{visuelle} : on fixe un point $o\in \mathbb{H}^2$ et on regarde l’angle vu de $o$ de deux points du bord. Ces notions s’étendent à des espaces à courbure strictement négative, mais s’adaptent mal à la courbure négative ou nulle.

À l’instar de l’exposant critique et de l’entropie, la dimension de Hausdorff de l’ensemble limite a été amplement étudiée. Comme nous l’avons dit, les travaux de Patterson et Sullivan montrent son lien avec la notion d’exposant critique. En revanche, il est parfois plus naturel d’étudier cet invariant plutôt que l’exposant critique lorsque l’on s’intéresse à des problèmes de régularité. Les travaux de Bowen, Yue s’intéressent aux valeurs minimales que peuvent prendre cet invariant, et montrer que ces valeurs caractérisent certaines représentations. Enfin, des résultats plus récents s’intéressent à la courbure négative ou nulle.

Un invariant probabiliste

Enfin nous avons mis au point avec A. Yarmola, un invariant de nature probabiliste s’appliquant à toute variété riemannienne de volume fini. On s’intéresse à la probabilité qu’un triangle aléatoire soit homotopiquement trivial. Nos résultats portent sur les tores plats et les surfaces hyperboliques. L’étude des triangles aléatoires sur le plan remonte à C. Dogson en 1893 \footnote{Il posa la questoin suivante : quelle est la probabilité qu’un triangle du plan soit aigu ?} et plusieurs auteurs se sont intéressés à ce type de problèmes sur le plan euclidiencite{kendall, guy, portnoy}, ou sur l’espace hyperboliquecite{isokawa}. Mais nos travaux sont très originaux : personne n’avait considéré des triangles aléatoires sur des surfaces compactes et \emph{a fortiori } personne n’avait étudié une probabilité liée à la topologie des triangles.

Dynamique topologique


L’étude de ces invariants est souvent intimement liée à des propriétés de dynamique du flot géodésique. C’est naturellement que mes recherches se sont aussi portées sur des problèmes de dynamiques sur les espaces symétriques de rang supérieur. Dans un article en collaboration avec T. Dang, nous nous intéressons aux propriétés topologiques de la dynamique de certains flots, dit flots de Weyl, dans ces espaces. Nous montrons le lien entre le mélange topologique \footnote{Un flot $\phi_t$ sur un espace topologique $X$ est dit topologiquement mélangeant si pour tous ouverts $U, V\subset X$ il existe $T>0$ tel que pour tout $t>T$, $\phi_t(U) \cap V \neq \emptyset$.} et les propriétés asymptotiques des groupes linéaires (Benoist).

Problèmes universels

Je regroupe sous ce nom les problèmes qui ont pour vocation de généraliser à un cadre le plus grand possible certaines notions, permettant d’obtenir des résultats et des preuves uniformes, englobant les cas précédemment connus.

J’étudie ce type de problème dans trois cadres: celui de l’exposant critique et de l’entropie, que j’ai généralisé à l’ensemble des courants géodésiques, incluant notamment les métriques à courbures négatives, mais aussi les représentations de Hitchin et les représentations quasi-Fuchsiennescite{critical_exp_geod_curr} ; celui de la métrique asymétrique de Thurston, que nous essayons de généraliser à l’espace de Teichmüller universel avec A. Seppi et N. Tholozan dans un travail en cours et enfin celui du trou spectral de l’opérateur de Markov, que j’essaye d’obtenir dans un cadre (celui de la géométrie grossière, ou \emph{coarse geometry}) incluant les groupes non-moyennablescite{kesten} mais aussi les graphes pondéréscite{lyons} et enfin les chemins aléatoires en courbure négative que j’ai introduits dans mes propres travaux cite{random_path}.